Цель работы

• Изучить модель экспоненциального роста и её математическую интерпретацию
  
• Получить аналитическое решение дифференциального уравнения
  
• Провести анализ влияния коэффициента роста \(\alpha\)
  
• Проанализировать:
  • динамику функции \(u(t)\)
    
  • зависимость времени удвоения \(T_2\)
    
  • особенности вычислительных затрат

Задание

• Рассмотреть модель экспоненциальной динамики
  
• Исследовать её математическое описание
  
• Провести серию вычислительных экспериментов при различных значениях \(\alpha\)
  
• Представить результаты в виде графиков

Математическая модель

Процесс экспоненциального изменения описывается уравнением:

\[ \frac{du}{dt} = \alpha u \]

Обозначения:

• \(u\) — исследуемая величина (популяция, капитал, объём и др.)
  
• \(t\) — время
  
• \(\alpha\) — параметр роста
  • \(\alpha > 0\) — рост
    
  • \(\alpha < 0\) — спад

Аналитическое решение

Общее решение уравнения:

\[ u(t) = u_0 e^{\alpha t} \]

Время удвоения определяется выражением:

\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{\alpha} \approx \frac{0.693}{\alpha} \]

Свойства модели:

• увеличение \(\alpha\) усиливает скорость роста
  
• время удвоения обратно пропорционально \(\alpha\)

Базовый расчёт (α = 0.3)

• Выполнено моделирование при фиксированном значении коэффициента
  
• График отражает ускоряющийся характер изменения функции

Влияние коэффициента роста

• Рассмотрены значения:
  • \(\alpha = 0.1,\;0.3,\;0.5,\;0.8,\;1.0\)
    
• С увеличением \(\alpha\) кривая становится более крутой

Анализ времени удвоения

Формула:

\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{\alpha} \]

• Численные результаты подтверждают теоретическую зависимость
  
• При больших \(\alpha\) период удвоения сокращается

Анализ вычислительного времени

• Оценена длительность расчётов при разных \(\alpha\)
  
• Существенной зависимости не обнаружено

Основные выводы

• Экспериментальные данные согласуются с аналитическим решением
  
• Рост параметра \(\alpha\) приводит к:
  • ускорению динамики
    
  • уменьшению времени удвоения
    
  • незначительному увеличению вычислительных затрат