Математическое моделирование

Лабораторная работа № 1

Чилеше Лупупа

Российский университет дружбы народов

2026-02-19

Вводная часть

Цель работы

  • Изучить модель экспоненциального роста и её математическую интерпретацию
  • Получить аналитическое решение дифференциального уравнения
  • Провести анализ влияния коэффициента роста \(\alpha\)
  • Проанализировать:
    • динамику функции \(u(t)\)
    • зависимость времени удвоения \(T_2\)
    • особенности вычислительных затрат

Задание

  • Рассмотреть модель экспоненциальной динамики
  • Исследовать её математическое описание
  • Провести серию вычислительных экспериментов при различных значениях \(\alpha\)
  • Представить результаты в виде графиков

Теоретическая часть

Математическая модель

Процесс экспоненциального изменения описывается уравнением:

\[ \frac{du}{dt} = \alpha u \]

Обозначения:

  • \(u\) — исследуемая величина (популяция, капитал, объём и др.)
  • \(t\) — время
  • \(\alpha\) — параметр роста
    • \(\alpha > 0\) — рост
    • \(\alpha < 0\) — спад

Аналитическое решение

Общее решение уравнения:

\[ u(t) = u_0 e^{\alpha t} \]

Время удвоения определяется выражением:

\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{\alpha} \approx \frac{0.693}{\alpha} \]

Свойства модели:

  • увеличение \(\alpha\) усиливает скорость роста
  • время удвоения обратно пропорционально \(\alpha\)

Экспериментальная часть

Базовый расчёт (α = 0.3)

  • Выполнено моделирование при фиксированном значении коэффициента
  • График отражает ускоряющийся характер изменения функции

Параметрический анализ

Влияние коэффициента роста

  • Рассмотрены значения:
    • \(\alpha = 0.1,\;0.3,\;0.5,\;0.8,\;1.0\)
  • С увеличением \(\alpha\) кривая становится более крутой

Анализ времени удвоения

Формула:

\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{\alpha} \]

  • Численные результаты подтверждают теоретическую зависимость
  • При больших \(\alpha\) период удвоения сокращается

Анализ вычислительного времени

  • Оценена длительность расчётов при разных \(\alpha\)
  • Существенной зависимости не обнаружено

Итоговая часть

Основные выводы

  • Экспериментальные данные согласуются с аналитическим решением
  • Рост параметра \(\alpha\) приводит к:
    • ускорению динамики
    • уменьшению времени удвоения
    • незначительному увеличению вычислительных затрат